高中数学知识点：极限

　　高中数学知识点：极限！数学的学习是一个慢慢学习和积累的过程。我们要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。下面就是小编特意为同学们整理的高中数学知识点：极限，希望对大家有所帮助。

 

高中数学知识点汇总

 

　　数列的极限

 

　　1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即|an-a|无限地接近于0)，那么就说数列{an}以a为极限.

　　注：a不一定是{an｝中的项.

　　2.几个常用的极限：①C=C(C为常数);②=0;③qn=0(|q|<1).

　　3.数列极限的四则运算法则：设数列{an｝、{bn｝，

　　当an=a, bn=b时， (an±bn)=a±b;

　　(an・bn)=a・b; =(b≠0).

 

　　●点击双基

　　1.下列极限正确的个数是

　　①=0(α>0) ②qn=0

　　③=-1 ④C=C(C为常数)

　　A.2 B.3

　　C.4 D.都不正确

　　解析:①③④正确.

　　答案:B

　　2. [n(1-)(1-)(1-)...(1-)]等于

　　A.0 B.1 C.2 D.3

　　解析: [n(1-)(1-)(1-)...(1-)]

　　=[n××××...×]　　==2.　　答案:C

 

　　●典例剖析

　　【例1】 求下列极限：

　　(1);(2) (-n);

　　(3)(++...+).

　　剖析:(1)因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限;(2)因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限;(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.

　　解:(1)==.

　　(2) (-n)= ==.

　　(3)原式===(1+)=1.

　　评述:对于(1)要避免下面两种错误：①原式===1,②∵(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在，∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误： ①(-n)= -n=∞-∞=0;②原式=-n=∞-∞不存在.对于(3)要避免出现原式=++...+=0+0+...+0=0这样的错误.

　　【例2】 已知数列{an｝是由正数构成的数列，a1=3，且满足lgan=lgan-1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数.

　　(1)求数列{an｝的通项公式及前n和Sn;

　　(2)求的值.

　　解:(1)由已知得an=c・an-1,

　　∴{an｝是以a1=3，公比为c的等比数列，则an=3・cn-1.

　　∴Sn=

　　(2) =.

　　①当c=2时，原式=-;

　　②当c>2时，原式==-;

　　③当0

　　评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.

　　【例3】 已知直线l:x-ny=0(n∈N *),圆M:(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线:y=(x-1)2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求.

　　剖析:要求的值，必须先求它与n的关系.

　　解:设圆心M(-1,-1)到直线l的距离为d,则d2=.

　　又r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=.

　　设点C(x1,y1), D(x2,y2)，

　　由nx2-(2n+1)x+n=0,

　　∴x1+x2=, x1・x2=1.

　　∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,(y1-y2)2=(-)2=,

　　∴|CD|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2

　　=(4n+1)(n2+1).

　　∴===2.

　　评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法.

　　【例4】 若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2-bnx+cn=0的两根,其中0<|c|<1,当 (b1+b2+...+bn)≤3,求c的取值范围.

　　解:首先,由题意对任意n∈N*,an・an+1=cn恒成立.

　　∴===c.又a1・a2=a2=c.

　　∴a1,a3,a5,...,a2n-1,...是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,...,a2n,...是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.

　　∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,

　　∴b1,b3,b5,...,b2n-1,...是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,...,b2n,...是首项为2c,公比为c的等比数列,

　　∴ (b1+b2+b3+...+bn)= (b1+b3+b5+...)+ (b2+b4+...)=+≤3.

　　解得c≤或c>1.∵0<|c|<1,∴0

　　故c的取值范围是(-1,0)∪(0,].

　　评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然"桥梁"应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.

 

　　●闯关训练

　　夯实基础

　　1.已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是

　　A.2 B.3 C. D.6

　　解析:由=2,得a=2b.

　　由=3,得b=3c,∴c=b.

　　∴=6.

　　∴== =6.

　　答案:D

　　2.(2003年北京)若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,...,则 (a1+a2+...+an)等于

　　A. B. C. D.

　　解析:an=

　　即an=

　　∴a1+a2+...+an=(2-1+2-3+2-5+...)+(3-2+3-4+3-6+...).

　　∴(a1+a2+...+an)=+=

　　答案:C

　　3.(2004年春季上海)在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上，则=__________________.

　　解析:由题意得-= (n≥2).

　　∴{}是公差为的等差数列，=.

　　∴=+(n-1)・=n.

　　∴an=3n2.　　∴=　　==3.

　　答案:3

　　4.(2004年 上海,4)设等比数列{an}(n∈N)的公比q=-,且(a1+a3+a5+...+a2n-1)=,则a1=_________________.

　　解析:∵q=-,∴ (a1+a3+a5+...+a2n-1)==.∴a1=2.

　　答案:2

　　5.(2004年湖南,理8)数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则(a1+a2+...+an)等于

　　A. B. C. D.

　　解析:2(a1+a2+...+an)=a1+[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+...+(an-1+an)]+an=+[++...+]+an.

　　∴原式=[++an]=(++an).

　　∵an+an+1=,∴an+an+1=0.

　　∴an=0.

　　答案:C

　　6.已知数列{an｝满足(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(n∈N*).

　　(1)求{bn}的通项公式;

　　(2)求(+++...+)的值.

　　解:(1)n=1时，由(n-1)an+1=(n+1)(an-1),得a1=1.

　　n=2时，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.

　　要证bn=2n2,只需证an=2n2-n.

　　①当n=1时，a1=2×12-1=1成立.

　　②假设当n=k时，ak=2k2-k成立.

　　那么当n=k+1时，由(k-1)ak+1=(k+1)(ak-1),得a k+1=(ak-1)

　　=(2k2-k-1)=(2k+1)(k-1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)2-(k+1).

　　∴当n=k+1时，an=2n2-n正确，从而bn=2n2.

　　(2)(++...+)=(++...+)

　　=[++...+]

　　=[1-+-+...+-]

　　=[1+--]=.

　　培养能力

　　7.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且

　　=,求极限 (++...+)的值.

　　解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2.

　　∵2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),

　　∴2d2-3d1=2.

　　又===,即d2=2d1,

　　∴d1=2,d2=4.

　　∴an=a1+(n-1)d1=2n+1,bn=b1+(n-1)d2=4n-2.

　　∴==(-).

　　∴原式=(1-)=.

　　8.已知数列{an｝、{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p>q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求.

　　解:Sn=+,　　　　当p>1时，p>q>0,得0<<1,上式分子、分母同除以pn-1，得　　　　∴=p.

　　当p<1时，0

　　探究创新

　　9.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an=,求an.

　　解:由an=,得

　　2an+an-1=2an-1+an-2,∴{2an+an-1}是常数列.

　　∵2a2+a1=2,∴2an+an-1=2.

　　∴an-=-(an-1-).

　　∴{an-}是公比为-,首项为-的等比数列.

　　∴an-=-×(-)n-1.

　　∴an=-×(-)n-1.

　　∴an=.

　　●思悟小结

　　1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：

　　(1)各数列的极限必须存在;

　　(2)四则运算只限于有限个数列极限的运算.

　　2.熟练掌握如下几个常用极限：

　　(1) C=C(C为常数);

　　(2) ()p=0(p>0);

　　(3) =(k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0);

　　(4) qn=0(|q|<1).

　　●教师下载中心

　　教学点睛

　　1.数列极限的几种类型：∞-∞,,0-0,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.

　　2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.　　拓展题例

　　【例题】 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有(-qn)=,求首项a1的取值范围.

　　解: (-qn)=,

　　∴qn一定存在.∴0<|q|<1或q=1.

　　当q=1时，-1=,∴a1=3.

　　当0<|q|<1时，由(-qn)=得=,∴2a1-1=q.

　　∴0<|2a1-1|<1.∴0

<1).

<|q|<1或q=1.

<|q|<1时，由(-qn)=得=,∴2a1-1=q.

<|2a1-1|<1.∴0

　　综上,得0

 

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